Duration berechnen

Käufer von Anleihen haben zwei oft gestellte Fragen: wie lange dauert es, bis das eingesetzte Kapital vollständig an mich zurückgeflossen ist und wie verändert sich der Kurs der Anleihe, wenn sich der Marktzins ändert? Diese beiden Fragen beantworten die Duration und die modifizierte Duration, die wir Ihnen inklusive Rechner auf dieser Seite vorstellen wollen.

Was versteht man unter Duration?

Die Duration gibt zum einen an, wie lange es dauert, bis das in eine Anleihe investierte Kapital vollständig an den Anleger zurückgeflossen ist. Zum anderen gibt die Duration bei Anleihen den Zeitpunkt an, an dem Kursänderungen durch die Wiederanlagebedingungen der Zinsen ausgeglichen (kompensiert) werden.

Was versteht man unter modifizierter Duration?

Die modifizierte Duration gibt an, um wie viele Prozentpunkte sich der Kurs einer Anleihe verändert, wenn sich der Marktzins um einen Prozentpunkt ändert. Sie drückt also das Zinsänderungsrisiko einer Anleihe aus. Dabei gilt: je größer der Wert für die modifizierte Duration, umso stärker reagiert die Anleihe auf Marktzinsänderungen und umgekehrt. Mit dieser Durationskennzahl lassen sich die Zinsrisiken unterschiedlicher Anleihen direkt vergleichen.

Wichtige Merkmale der Duration

  • Je länger die Restlaufzeit einer Anleihe, desto größer ist die Duration
  • Je höher der Zinskupon einer Anleihe, desto schneller fließt das eingesetzte Kapital an den Anleger zurück und umso kleiner ist die Duration
  • Je höher die Rendite einer Anleihe ist, desto schneller fließt das eingesetzte Kapital über die Zinsen an den Anleger zurück und desto geringer ist die Duration [1]
  • Je höher der Marktzins ist, desto kleiner ist die Duration.
  • Die Duration von Anleihen ist in der Regel kürzer als die Restlaufzeit. Das liegt darin begründet, dass ein Teil der Zahlungen von Zins und Tilgung bereits vor dem Ende der Restlaufzeit erfolgt. Ausgenommen hiervon sind Nullkuponanleihen (auch bekannt als Zerobonds). Bei diesen ist die Duration gleich der Restlaufzeit, da Zins- und Tilgungszahlungen erst zum Laufzeitende erfolgen.
  • Die Berechnung der Duration kann nur für Wertpapiere mit bekannten Zahlungsströmen erfolgen. Eine Bestimmung der Duration ist nicht für variabel verzinsliche Papiere oder beispielsweise Index-Anleihen möglich. [2]

Mit unserem Durationsrechner können Sie sowohl die "einfache" als auch die modifizierte Duration für beliebige Anleihen berechnen. Sie benötigen dazu Angaben zur Nominalverzinsung, Laufzeit, Datum der nächsten Zinszahlung und aktueller Marktrendite der Anleihe. Um die Veränderung des Anleihekurses bei Änderungen der Marktzinsen zu ermitteln, stellen wir Ihnen zwei Werte für unterschiedliche Szenarien zur Verfügung:

Durationsrechner


Eckdaten zu Anleihe und Marktzinsen

Zahlungsströme und Barwerte



Auswertung


Duration = Summe der gewichteten Barwerte / Kurs der Anleihe) =

Es dauert Jahre, bis das eingesetzte Kapitalvollständig zurückgeflossen ist.

modifizierte Duration = Duration /(1+Nominalverzinsung) =

Ändert sich der Marktzins um einen Prozentpunkt, dann verändert sich der Kurs der Anleihe um Prozentpunkte.


Marktwert der Anleihe = Kurs EUR

Szenariorechnung 1: Marktzins sinkt auf Prozent, Anleihekurs steigt auf EUR

Szenariorechnung 2: Marktzins steigt auf Prozent, Anleihekurs sinkt auf EUR

Wie berechnet man die Duration?

Für die Berechnung der (modifizierten) Duration einer Anleihe benötigen wir folgende Werte: die Nominalverzinsung (z) der Anleihe, die Laufzeit (N), das Datum der nächsten Zinszahlung und die aktuelle Marktrendite (r).

Formel zur Berechnung der Duration

Formel zur Berechnung der Duration von Anleihen
Anders ausgedrückt:

Duration = Summe der gewichteten Barwerte / Kurs der Anleihe

Berechnung am Beispiel:

Wir haben eine Anleihe mit einer (Rest)-laufzeit N bis 15.08.2028 also 9,65 Jahren (Zeitpunkt der Berechnung: 19.12.2018). Die nächste jährlich erfolgende Zinszahlung ist am 15.08.2019, also in 0,6548 Jahren. Die Nominalverzinsung z der Anleihe beträgt 0,50 Prozent und die aktuelle Marktrendite r 0,251 Prozent.

Barwerte ermitteln

Im ersten Schritt müssen die in der Zukunft liegenden Zahlungen (laufende Zinskupons sowie Tilgung zum Laufzeitende, auch als Cashflow bezeichnet) auf ihren heutigen Barwert abgezinst werden. Die Formel dafür lautet:

Formel zur Ermittlung des Barwertes

Barwert der 1. Zinszahlung am 15.08.2019 = (0,50 EUR x 1 / (1+ 0,251%) 0,6548 = 0,50 EUR

Barwert der 6. Zinszahlung am 15.08.2025 = (0,50 EUR x 1 / (1+ 0,251%) 5,6548 = 0,49 EUR

Barwert aus 10. Zinszahlung und Rücknahme der Anleihe zu 100 Prozent am 15.08.2028 = (100,50 EUR x 1 / (1+ 0,251%) 9,6548 = 98,10 EUR

Barwerte mit der Zeit bis zur Fälligkeit gewichten

Im zweiten Schritt müssen die Barwerte der einzelnen Zahlungen mit der bis zu ihrer Fälligkeit vergehenden Zeit gewichtet werden. Dazu wird der Barwert einer in zwei Jahren fälligen Zahlung verdoppelt, der Barwert einer in drei Jahren fälligen Zahlung verdreifacht und so weiter.

Gewichteter Barwert der 1. Zinszahlung: 0,49 EUR x 0,6548 Jahre = 0,33 EUR

Gewichteter Barwert der 6. Zinszahlung: 0,49 EUR x 5,6548 Jahre = 2,79 EUR

Gewichteter Barwert der 10. Zinszahlung + Rückzahlung der Anleihe zum Laufzeitende: 0,49 EUR x 9,6548 Jahre = 947,10 EUR

Summe der gewichteten Barwerte bilden

Im dritten Schritt wird die Summe der gewichteten Barwerte gebildet. Für unser Beispiel ergibt das 0,33 + 0,82 + 1,32 + 1,81 + 2,30 + 2,79 + 3,27 + 3,75 + 4,23 + 947,10 = 967,73.

Duration berechnen

Die Duration unserer Anleihe beträgt laut Formel:

(Summe der gewichteten Barwerte / Kurs der Anleihe): 967,73 EUR / 102,54 EUR = 9,44

Es dauert also 9,44 Jahre, bis das vom Anleger eingesetzte Kapital vollständig an diesen zurückgeflossen ist oder bis Kursänderungen durch die Wiederanlagebedingungen der Zinsen ausgeglichen (kompensiert) wurden.

Zahlungsströme und Barwerte unseres Beispiels im Überblick

Zahlungs­nummer Zeitpunkt der Zahlung in Jahren Cashflow (Zins- und Tilgungs­zahlungen) Barwert (Diskon­tierter Cashflow) Gewichteter Barwert
1 0,6548 0,50 EUR 0,50 EUR 0,33
2 1,6548 0,50 EUR 0,50 EUR 0,82
3 2,6548 0,50 EUR 0,50 EUR 1,32
4 3,6548 0,50 EUR 0,50 EUR 1,81
5 4,6548 0,50 EUR 0,49 EUR 2,30
6 5,6548 0,50 EUR 0,49 EUR 2,79
7 6,6548 0,50 EUR 0,49 EUR 3,27
8 7,6548 0,50 EUR 0,49 EUR 3,75
9 8,6548 0,50 EUR 0,49 EUR 4,23
10 9,6548 100,50 EUR 98,10 EUR 947,10
Summe 102,54 EUR 967,73

Wichtig: Die Duration einer Anleihe gilt nur für das jeweils aktuelle Marktzinsniveau, also zum Zeitpunkt der Berechnung.

Formel zur Berechnung der modifizierten Duration

Die modifizierte Duration (Dmod) – also die Änderung des Kurses einer Anleihe aufgrund der Änderung des Marktzinses – wird wie folgt berechnet:

Formel zur Berechnung der modifizierten Duration

Für unser eben genanntes Beispiel ergibt sich:

modifizierte Duration = 9, 44 / (1 + 0,50%) = 9,39

Ändert sich der Marktzins um einen Prozentpunkt, dann verändert sich der Kurs der Anleihe um 9,39 Prozentpunkte.

Wie berechnet man die Duration eines Anleiheportfolios?

Die wenigsten Anleger haben nur eine Anleihe im Portfolio. Die Berechnung der Duration eines ganzen Portfolios von Anleihen erfolgt in drei Schritten:

  • Man ermittelt den prozentualen Anteil jeder Anleihe am Gesamtportfolio.
  • Man berechnet die Duration für jede einzelne Anleihe.
  • Man summiert für alle im Portfolio befindlichen Anleihen deren mit dem jeweiligen Portfolioanteil gewichtete Duration.

Formel

Duration Portfolio = Portfolioanteil Anleihe A x Duration Anleihe A + Portfolioanteil Anleihe B x Duration Anleihe B + … + Portfolioanteil Anleihe N x Duration Anleihe N

Beispielrechnung

  Bundes­anleihe 10 Jahre (15.08.2028) General Electric (19.09.2035) Apple (04.05.2043) Summen
Kupon 0,50% 4,125% 3,85%  
Restlaufzeit 9,66 Jahre 16,75 Jahre 24,37 Jahre  
Nominalwert 1.000,00 EUR 2.000,00 EUR 1.500 EUR 4.500,00 EUR
Kurs 102,54 101,73 99,30  
Rendite 0,251% 4,035% 4,258%  
Kurswert 1025,40 EUR 2.034,60 EUR 1.489,50 EUR 4.549,50 EUR
Portfolioanteil 22,54% 44,72% 32,74% 100,00%
Duration 9,44 8,15 7,83  
Die Duration des Anleiheportfolios ist 0,2254 x 9,44 + 0,4472 x 8,15 + 0,3274 x 7,83 = 8,34
Die Duration des Anleiheportfolios ist 8,34

Das Zinsänderungsrisiko von Anleihen

Für Anleger besteht das Risiko, dass sich die Marktzinsen ändern. Sinken sie, können die Zinszahlungen der Anleihe nur zu niedrigeren Zinsen wieder angelegt werden. Steigen sie, würde der Anleger mit einer neuen Anleihe höhere Zinsen – bezogen auf den Nominalwert beider Papiere – erlösen.

Anleihen und Marktzinsen

Eine Änderung der Marktzinsen bewirkt daher eine Änderung des Anleihekurses und eine Änderung des Zinssatzes, zu dem die Zinszahlungen der Anleihe wieder angelegt werden können. Das ist das Zinsänderungsrisiko von Anleihen und so stellt es sich dar:

  • Steigt der Marktzins, so sinkt der Kurs der Anleihe aber die Zinszahlungen können zu höheren Zinsen wieder angelegt werden.
  • Sinkt der Marktzins, so steigt der Kurs der Anleihe, denn die Zinszahlungen können nur zu niedrigeren Zinsen wieder angelegt werden.

Wie stark reagiert eine Anleihe auf Zinsänderungen?

Je länger die (Rest)-laufzeit einer Anleihe ist, desto öfter müssen die Zinszahlungen wieder angelegt werden, uns desto größer ist die Unsicherheit über das dann vorzufindende Zinsniveau. Daher sind auch das Zinsänderungsrisiko und die Duration einer Anleihe umso größer, je länger die (Rest)-laufzeit ist.

Bei Anleihen mit gleicher Restlaufzeit reagiert die Anleihe mit dem kleinsten Zinskupon am stärksten auf eine Veränderung des Marktzinses.

Im Normalfall gleichen sich Kursänderung und Wiederanlagebedingungen der Zinsen ab einem gewissen Zeitpunkt aus. Genau diesen Zeitpunkt gibt die Duration an. Dabei gilt: je niedriger die Duration, desto geringer das Zinsänderungsrisiko.

Reaktion von Anleihen auf Marktzinsänderungen berechnen

Mit unserem Durationsrechner können Sie für beliebige Szenarien ermitteln, wie der Kurs einer Anleihe auf Änderungen des Marktzinses reagiert.
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Wo kann ich Anleihen kaufen?

Anleihen können Sie über ein Depot – etwa bei Ihrer Hausbank oder einem der zahlreichen Online-Broker – kaufen. Da jeder Broker anderer Ordergebühren berechnet, kann Ihnen unser Onlinebroker-Vergleich dabei helfen, den Broker mit den günstigsten Gebühren zu finden.

Eine Alternative wären Robo-Advisor, die Ihnen die Auswahl der einzelnen Anleihen abnehmen. Bei diesen Anbietern von Online-Vermögensverwaltungen können Sie ein gemanagtes Depot mit einer von Ihnen wählbaren Aufteilung in Aktien, Anleihen und andere Anlageklassen eröffnen. Auch hier haben wir einen Vergleich der wichtigsten Anbieter sowie – einzigartig in Deutschland – einen umfassenden Echtgeld-Performance-Test online gestellt:

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Quellen

[1] Hochschule Magdeburg – Vorlesungsmaterial „Bonitäts- und Zinsrisiken
[2] Haufe.de – „Duration / 1 Merkmale und Berechnung

Literaturempfehlungen

Rüdiger Götte: „Das 1×1 der Zinsen
Rolf Belke, Johannes Schlütz: „Finanznachrichten lesen – verstehen – nutzen
Hans Diwald: „Anleihen verstehen: Grundlagen verzinslicher Wertpapiere und weiterführende Produkte
Stefanie Kühn, Markus Kühn: „Handbuch Geldanlage: Aktien, Fonds, Anleihen, Festgeld, Gold und Co.