Optionspreisbewertung

Binominalmodell und Black&Scholes

Der Wert einer Option am Ende ihrer Laufzeit ist einfach zu bestimmen: Sie verfällt entweder wertlos oder wird – im üblichen Fall des Barausgleichs – zu ihrem inneren Wert abgerechnet. Die wenigsten Optionen und Optionsscheine werden jedoch bis zur Fälligkeit gehalten. Die Bewertung von Optionen während der Laufzeit ist mit dem Binomialmodell, auch als Cox-Ross-Rubinstein-Modell bekannt, geläufig.

Cox-Ross-Rubinstein/Binomialmodell

Wie die meisten finanztheoretischen Modelle unterstellt auch das Binomialmodell eine Laborumgebung. Es gibt in den Annahmen des Modells: 

  • keine Transaktionskosten, Steuern und Marginanforderungen
  • Keine Dividendenausschüttungen in den Basiswerten
  • einen konstanten, risikolosen Zins 

Das Modell unterstellt ferner, dass Aktienkurse nicht fortlaufend, sondern nur zu bestimmten Zeitpunkten festgestellt werden. Deshalb ist die Unterscheidung zwischen europäischen und amerikanischen Optionen nicht erforderlich.

Dazu eine Anmerkung: Das vorzeitige Ausübungsrecht amerikanischer Optionen wird von Privatanlegern häufig überschätzt. Das ist nahezu immer auf die Sorge zurückzuführen, angelaufene Gewinne nicht realisieren zu können und diese im Marktverlauf wieder zu verlieren. Diese intuitive Wahrnehmung täuscht jedoch: Der zwischenzeitlich angelaufene innere Wert kann jederzeit durch eine Veräußerung (Glattstellung) der Option realisiert werden. Eine vorzeitige Ausübung ist dagegen in keinem Fall empfehlenswert, weil dadurch der noch vorhandene Zeitwert ohne Gegenleistung verschenkt wird.

Arbitrageportfolio zur Bewertung von Optionen

Zur Bewertung einer Option wird im Binomialmodell ein risikoloses Portfolio gebildet, das aus einer Shortpositition in einer Calloption auf die Aktie X, und einer (teilweise) kreditfinanzierten Longposition in der Aktie X besteht. Aus diesem Arbitrageportfolio wird der angemessene Preis der Calloption errechnet.

Dafür unterstellt das Modell, dass der Kurs der Aktien im Portfolio am Ende des modellhaften Betrachtungszeitraumes lediglich zwei Werte annehmen kann: Einen oberhalb des Ausgangswertes und einen unterhalb des Ausgangswertes. Da die verkaufte Calloption in der Ausgangssituation am Geld notiert verfällt sie am Periodenende entweder wertlos oder muss durch den Aktienbestand eingelöst werden. Das Portfolio nimmt unter diesen Annahmen unabhängig von der Kursentwicklung immer denselben Wert an. Mit dieser Erkenntnis lässt sich der Wert einer Option relativ einfach bestimmen.

Das Black&Scholes Modell

Die beiden US-Ökonomen Fischer Black und Myron Samuel Scholes veröffentlichten in den 1970er Jahren ein Modell zur Bewertung von Optionen, das heute als Standard in der Optionstheorie gilt und als „Black&Scholes“-Modell bekannt ist. Auch dieses Modell geht von einem vollkommenen Kapitalmarkt aus. Darüber hinaus wird unterstellt, dass die Kursveränderungen im Basiswert normalverteilt und stochastisch unabhängig sind (das also eine bestimmte Kursbewegung nicht die Wahrscheinlichkeiten späterer Kursbewegungen verändert).

Das Modell nimmt an, dass sich die Aktienkurse wie eine geometrische Brownsche Bewegung verhalten. Im Resultat steht eine Differentialgleichung, die den Preis einer Option als Funktion der Variablen Aktienkurs, Ausübungspreis, Marktzins, erwartete Volatilität und Restlaufzeit darstellt. Die partiellen Ableitungen der Funktion nach den einzelnen Variablen ergeben die im Jargon als „Greeks“ bezeichneten Sensitivitätskennzahlen.